что значит измерить отрезок
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Геометрия:
Контакты
Измерение отрезков
На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины.
Измерить отрезок — это значит сравнить его с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком).
Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рисунке 1 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» — и пишут: АВ = 2 см.
Может оказаться, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке — получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 1 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см. Но возможно, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 1, в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина отрезка AD приближенно равна 3,8 см. Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со все большей точностью. На практике, однако, пользуются приближенными значениями длин отрезков.
За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок.
Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.
Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.
Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.
На рисунке 2 изображен отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС = 3 см, СВ = = 2,7 см, АВ = 5,7 см. Таким образом, АС + СВ = АВ. Также и во всех случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.
Пример 1. Точка С — середина отрезка АВ. Найти длину отрезка АС, если длина отрезка АВ равна 32 см.
Решение. Имеем: АС + СВ = АВ или АС + СВ = 32. Так как С — середина отрезка АВ, то АС = С В и, значит, 2АС = 32, откуда АС = 16 (см).
Пример 2. Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка АС. Найти АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см.
Решение. Так как С — середина отрезка АВ, то, как и в предыдущем примере, АС = СВ = 1/2 • АВ, или АС = СВ = 1/2 • 2 = 1 (см). Так как точка О — середина отрезка АС = 1 см, то АО= ОС = 0,5 см. Наконец, ОВ = ОС + СВ = 0,5 + 1 = 1,5 (см).
Пример 3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?
Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВУ ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.
Длина отрезка
Для того, чтобы найти длину отрезка, его сравнивают с отрезком принятым за единицу измерения, который носит название единичный отрезок.
Если за единицу измерения принять сантиметр, то, чтобы определить длину отрезка, нужно узнать сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рис.1 в отрезке СD сантиметр укладывается ровно три раза, значит, длина отрезка СD равна 3 см, можно записать СD = 3 см. В данном случае, для измерения удобно использовать сантиметровую линейку.
Бывает, что единичный отрезок не укладывается целое число раз в измеряемый отрезок, тогда единичный отрезок делят на 10 равных частей и определяют сколько раз одна десятая часть укладывается в остатке измеряемого отрезка. На рис.2 в отрезке СВ сантиметр укладывается 2 раза и в остатке 3 раза укладывается одна десятая часть сантиметра, значит, длина отрезка СВ равна 3,3 см или, учитывая что для сантиметра десятая часть равна миллиметру, 3 см 3 мм, т.е. можно записать СВ = 3,3 см (СВ = 3 см 3 мм).
Может получится так, что и в миллиметрах остаток не укладывается целое число раз, тогда:
За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и другие отрезки, например, дециметр, метр и т.д.
Свойства длин отрезков:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Математика. 5 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
— понятие длины отрезка;
— равные отрезки на чертежах;
— определение длины отрезков.
Длина отрезка – число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единичный отрезок.
Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята за единицу измерения.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. –М.: Просвещение, 2009. – 142с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Каждому человеку неоднократно приходилось что-то измерять: свой рост, длину прыжка, высоту потолка и многое другое. Все эти действия означают вычисление величины какого-нибудь отрезка. Каким же образом можно измерить длину отрезка? На этот вопрос ответим в ходе урока.
За свою историю человечество придумало много разных единиц длины. Позже появились меры, заимствованные из природы:
— пядь – расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами;
— вершок – длина основной фаланги указательного пальца;
— локоть – расстояние от локтевого сустава до конца вытянутого среднего пальца руки.
Некоторые названия сохранились до сих пор: ярд, фут, пядь, дюйм.
Ну, а герои одного известного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. В зависимости от того, в ком измеряли удава, он становился то длиннее, то короче.
Два слонёнка, пять мартышек или тридцать восемь попугаев.
«А в попугаях я гораздо длиннее!» – воскликнул удав.
На самом деле мы с вами понимаем, что его размеры не менялись. Тогда возникает вопрос: в чём измерять? Что брать за единицу длины? Слонёнка, попугая или мартышку.
Измерить длину какого-нибудь отрезка в заданных единицах измерения – значит найти число, показывающее, сколько единичных отрезков поместится в данном отрезке.
Длиной отрезка называют число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единица измерения.
Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называется единичным отрезком.
Чем же можно измерить длину отрезка?
Наиболее древними геометрическими инструментами являются линейка и циркуль, последний был изобретён в первом веке в Древней Греции.
Для более точных измерений используют миллиметровую линейку и штангенциркуль.
Далее построим отрезок ВК заданной длины –например, 8см. Для этого отметим точку В и приложим к ней линейку, совместив точку В с нулём. Затем отмеряем с помощью линейки 8 см, отмечаем точку К и соединяем обе точки линией.
Такой отрезок можно построить и с помощью циркуля. Для этого отметим точку В. Приложим к линейке циркуль, выставив его ножки на восемь сантиметров. Перенесём циркуль к точке В, поместив на неё одну ножку, а другой ножкой поставим точку К. Соединив обе точки линией, получим отрезок с длиной 8 см.
Отрезки можно сравнить с помощью измерителя –например, циркуля. Для этого попеременно подставляем ножки циркуля ко всем предложенным для сравнения отрезкам. При этом они должны быть выставлены по одному из отрезков. Если длины отрезков одинаковы, то отрезки считают равными и пишут CD = КМ.
Если один из отрезков является частью другого, следовательно, он короче. Например, ЕН короче EF, так как отрезок EH является частью EF.
Рассмотрим ещё одно свойство длин.
Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ. Пишут: АВ = АС + СВ.
Наши органы чувств – это один из способов получения информации об окружающем нас мире, но информация полученная таким образом, бывает искажена.
Посмотрите на рисунки и ответьте на вопрос, равны ли отрезки?
На первый взгляд покажется, что правый отрезок больше, чем левый, но при сравнении с помощью линейки окажется, что отрезки равны.
Такая же ситуация, складывается и со следующей картинкой. Кажется, что нижний отрезок больше, чем верхний, но при наложении линейки окажется, что отрезки равны.
В другом же случае на тот же вопрос о равенстве отрезков ответ очевиден.
Таким образом, можно сделать вывод, что глазомерные оценки геометрических реальных величин неточны.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка.
Сравните длины горизонтального и вертикального отрезков?
Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно использовать линейку, нужно измерить длину каждого отрезка и сравнить их. В результате измерений мы увидим, что отрезки равны.
№2. Тип задания: выделение цветом.
Точка К расположена на прямой между точками А и В. Длина отрезка АК = 8 см, длина отрезка КВ на 2 см больше длины отрезка АК. Какова длина отрезка АВ?
Выберите правильный ответ: 6 см; 10 см; 12 см; 18 см.
Решение: изобразим условие задачи на рисунке.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
— понятие длины отрезка;
— равные отрезки на чертежах;
— определение длины отрезков.
Длина отрезка – число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единичный отрезок.
Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята за единицу измерения.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. –М.: Просвещение, 2009. – 142с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Каждому человеку неоднократно приходилось что-то измерять: свой рост, длину прыжка, высоту потолка и многое другое. Все эти действия означают вычисление величины какого-нибудь отрезка. Каким же образом можно измерить длину отрезка? На этот вопрос ответим в ходе урока.
За свою историю человечество придумало много разных единиц длины. Позже появились меры, заимствованные из природы:
— пядь – расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами;
— вершок – длина основной фаланги указательного пальца;
— локоть – расстояние от локтевого сустава до конца вытянутого среднего пальца руки.
Некоторые названия сохранились до сих пор: ярд, фут, пядь, дюйм.
Ну, а герои одного известного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. В зависимости от того, в ком измеряли удава, он становился то длиннее, то короче.
Два слонёнка, пять мартышек или тридцать восемь попугаев.
«А в попугаях я гораздо длиннее!» – воскликнул удав.
На самом деле мы с вами понимаем, что его размеры не менялись. Тогда возникает вопрос: в чём измерять? Что брать за единицу длины? Слонёнка, попугая или мартышку.
Измерить длину какого-нибудь отрезка в заданных единицах измерения – значит найти число, показывающее, сколько единичных отрезков поместится в данном отрезке.
Длиной отрезка называют число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единица измерения.
Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называется единичным отрезком.
Чем же можно измерить длину отрезка?
Наиболее древними геометрическими инструментами являются линейка и циркуль, последний был изобретён в первом веке в Древней Греции.
Для более точных измерений используют миллиметровую линейку и штангенциркуль.
Далее построим отрезок ВК заданной длины –например, 8см. Для этого отметим точку В и приложим к ней линейку, совместив точку В с нулём. Затем отмеряем с помощью линейки 8 см, отмечаем точку К и соединяем обе точки линией.
Такой отрезок можно построить и с помощью циркуля. Для этого отметим точку В. Приложим к линейке циркуль, выставив его ножки на восемь сантиметров. Перенесём циркуль к точке В, поместив на неё одну ножку, а другой ножкой поставим точку К. Соединив обе точки линией, получим отрезок с длиной 8 см.
Отрезки можно сравнить с помощью измерителя –например, циркуля. Для этого попеременно подставляем ножки циркуля ко всем предложенным для сравнения отрезкам. При этом они должны быть выставлены по одному из отрезков. Если длины отрезков одинаковы, то отрезки считают равными и пишут CD = КМ.
Если один из отрезков является частью другого, следовательно, он короче. Например, ЕН короче EF, так как отрезок EH является частью EF.
Рассмотрим ещё одно свойство длин.
Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ. Пишут: АВ = АС + СВ.
Наши органы чувств – это один из способов получения информации об окружающем нас мире, но информация полученная таким образом, бывает искажена.
Посмотрите на рисунки и ответьте на вопрос, равны ли отрезки?
На первый взгляд покажется, что правый отрезок больше, чем левый, но при сравнении с помощью линейки окажется, что отрезки равны.
Такая же ситуация, складывается и со следующей картинкой. Кажется, что нижний отрезок больше, чем верхний, но при наложении линейки окажется, что отрезки равны.
В другом же случае на тот же вопрос о равенстве отрезков ответ очевиден.
Таким образом, можно сделать вывод, что глазомерные оценки геометрических реальных величин неточны.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка.
Сравните длины горизонтального и вертикального отрезков?
Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно использовать линейку, нужно измерить длину каждого отрезка и сравнить их. В результате измерений мы увидим, что отрезки равны.
№2. Тип задания: выделение цветом.
Точка К расположена на прямой между точками А и В. Длина отрезка АК = 8 см, длина отрезка КВ на 2 см больше длины отрезка АК. Какова длина отрезка АВ?
Выберите правильный ответ: 6 см; 10 см; 12 см; 18 см.
Решение: изобразим условие задачи на рисунке.
Измерение отрезков
Цели урока:
2) Развивающая: развитие умений применять полученные теоретические знания на практике, развитие внимания, аналитических способностей.
3) Воспитывающая: воспитание интереса к изучению математики, ответственности, самостоятельности.
Литература: «Геометрия 7 — 9 класс» Л. С. Атанасян и др.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Получение знаний.
4. Закрепление нового материала.
6. Домашнее задание.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся. Ставятся цели и определяются задачи урока.
Объявляется тема урока. Учащиеся записывают тему урока и дату в рабочих тетрадях.
2. Актуализация опорных знаний.
На прошлом уроке мы говорили о сравнении двух отрезков способом наложения их друг на друга.
— Скажите, в каком случае два отрезка называют равными? (если их можно совместить наложением)
Сегодня на уроке мы снова поговорим об измерении отрезков, а точнее научимся измерять отрезки и выражать их длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах.
Для начала, давайте, ответим на несколько вопросов.
— Что называют серединой отрезка?
— Что называют биссектрисой угла?
3. Получение знаний.
В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением высот зданий, сооружений, а также с измерением расстояний, которые мы прошли или проехали. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.
Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок также называют масштабным отрезком.
Давайте определим длину некоторого отрезка АВ, приняв за единицу измерения сантиметр (рисунок 1). Видим, что в данном отрезке АВ сантиметр укладывается ровно четыре раза, а это означает, что его длина равна четыре сантиметра. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен четыре сантиметра». А записывают так: АВ = 4 см.
Рисунок 1.
Но может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке.
Возьмём отрезок CD (рисунок 2). Сантиметр укладывается в отрезок пять раз, но при этом получается остаток. В таком случае единицу измерения необходимо разделить на равные части, обычно делят на десять равных частей, и определить, сколько таких частей укладывается в остатке. В нашем случае в остатке шесть раз укладывается десятая часть отрезка, поэтому длина отрезка CD равна пять целых шесть десятых сантиметра. Отметим, что одну десятую часть сантиметра называют миллиметром (мм).
Рисунок 2.
Однако может возникнуть ситуация, когда и миллиметр не будет укладываться в остатке целое число раз, и получится новый остаток. Тогда и миллиметр можно разделить на 10 частей и продолжить процесс измерения.
Единицей измерения отрезка может быть не только сантиметр, но и другой отрезок.
Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, выразить его длину некоторым положительным числом.
Исходя из проделанного выше, можно сказать, что это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.
Возьмём два равных отрезка АВ и СD (рисунок 3). Единицы измерения в этих отрезках укладываются одинаковое число раз, равные отрезки имеют равные длины.
Рисунок 3.
Если же мы возьмём два неравных отрезка KL и MN (рисунок 4), то увидим, что в меньшем отрезке MN единица измерения укладывается меньшее число раз, чем в отрезке KL, меньший отрезок имеет меньшую длину.
Рисунок 4.
Теперь рассмотрим отрезок АВ (рисунок 5). Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Измерим эти отрезки. Видим, что отрезок АС равен четыре сантиметра, отрезок СВ равен три целых пять десятых сантиметра и отрезок АВ равен семь целых пять десятых сантиметра. Получили:
Таким образом, сформулируем следующее.
Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Рисунок 5.
Следует сказать, что если длина некоторого отрезка АВ в k раз больше отрезка CD, то записывают это следующим образом: АВ=kCD.
Отметим также, что длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.
Поговорим о единицах измерения. Для измерения отрезков и нахождения расстояний используются различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр — отрезок, который приблизительно равен 
земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции.
В одном метре сто сантиметров (1 м =100 см), а один сантиметр содержит десять миллиметров (1 см = 10 мм).
При измерении небольших расстояний, например, расстояния между точками на листе бумаги или нахождении длины карандаша за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Высоту дерева можно измерить в метрах. А вот расстояние, которое мы пройдём на лыжах, можно измерить в километрах.
Можно также использовать и такие единицы измерения, как дециметр (1 дм = 10 см), морская миля, равная одной целой восьмистам пятидесяти двум тысячным километра (1 миля = 1,852 км). А вот для измерения очень больших расстояний в астрономии используется такая единица измерения, как световой год (это путь, который проходит свет в течение одного года).
Для измерения расстояний могут использоваться различные инструменты. Например, в техническом черчении используется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой. А вот для измерения диаметра трубки можно воспользоваться штангенциркулем.
4. Закрепление нового материала.
Для закрепления материала учащимся предлагается выполнить следующие практические задания.
Задание 1. На прямой отмечены точки А, В и С. Отрезок АВ = 50 мм, а отрезок АС = 1,7 дм. Найдите длину отрезка ВС в сантиметрах. Рассмотрите различные варианты взаимного расположения точек.
Решение: Переведём значения длин отрезков в сантиметры.
АВ = 50 мм = 5 см; АС=1,7 дм =17 см.
Рисунок 6.
ВС = АС — АВ, ВС = 17 см — 5 см = 12 см.
Рисунок 7.
ВС = АВ + АС, ВС = 5 см + 17 см = 22 см.
Рисунок 8.
В данном случае задача не имеет решения, так как АС > АВ.
Ответ: 12 см или 22 см.
Задание 2. На прямой MN лежит точка L. Найдите длину отрезка MN, если ML = 7 см, а LN = 4ML.
Решение: MN = ML + LN = ML + 4ML = 5ML;
Рисунок 9.
Ответ: 35 см.
Задание 3. Точка О — середина отрезка KL, длина которого равна 8,4 см. От точки О на прямой KL отложены отрезки ОМ = 2 см и ON = 5 см. Найдите длины отрезков КМ и KN, если MN = 3 см.
Рисунок 10.
Решение: Так как О — середина отрезка KL, то KO = ОL = 4,2 см.
KM = KO + OM = 4,2 + 2 =6,2 см.
Из последнего выражения видим, чтобы найти длину отрезка KN, нам необходимо найти длину отрезка LN.
Так как ОL = 4,2 см и ON = 5 см, то LN = ON — ОL = 5 — 4,2 = 0,8 см.
Тогда KN = 8,4 + 0,8 = 9,2 см.
Ответ: 6,2 см; 9,2 см.
5. Рефлексия.
Подводятся итоги урока, обсуждается, что учащиеся узнали. Учащиеся задают вопросы, возникшие при изучении нового материала и выполнении практических заданий. Затем ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы записанной на доске:
4. я выполнял задания…
7. у меня получилось …
Оценивается работа учащихся на уроке.
6. Домашнее задание: § 4, № 26, 34.